Aspectos analíticos y geométricos de un modelo epidemiológico con dinámica de población
DOI:
https://doi.org/10.36788/sah.v7i2.144Palabras clave:
Ecuaciones diferenciales ordinarias, Puntos de equilibrio, Cálculo de variedades invariantesResumen
En este trabajo consideramos un sistema de 4 ecuaciones diferenciales ordinarias, dependiente de 6 parámetros, que modela la propagación de una enfermedad infecciosa en una población que suponemos no constante ni en equilibrio, sino que aumenta en el tiempo bajo el modelo de Malthus lo que lleva a un sistema no lineal en 5 dimensiones. A través de un cambio de variable se puede considerar la población total como una cantidad conservada lo que nos permite reducir la dimensión del sistema. Posteriormente, calculamos y analizamos los puntos de equilibrio en términos de los varios parámetros del sistema y establecemos resultados analíticos para la estabilidad haciendo uso de la teoría clásica de polinomios de Hurwitz y teoría de perturbaciones. También implementamos el método de la parametrización para calcular órbitas heteroclínicas asociadas a los puntos de equilibrio haciendo uso de la información de la dinámica local obtenida previamente. Las variedades se parametrizan en términos de series de potencias donde se obtuvieron fórmulas cerradas para los coeficientes para todo orden, lo cual permite estudiar, en particular, la evolución y convergencia de las series en términos de los parámetros del sistema reducido.
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Á. Haro, M. Canadell, J.-Ll. Figueras, A. Luque, J. M. Mondelo, The Parametrization Method for Invariant Manifolds. From Rigorous Results to Effective Computations. Applied Mathematical Sciences. Springer, 2016. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-29662-3
B. Krauskopf, H. M. Osinga, E. J. Doedel, M. E. Henderson, J. Guckenheimer, A. Vladimirsky, M. Dellnitz, and O. Junge, “A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields,” International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 15, no. 03, pp. 763-791, 2005. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127405012533
E. Villar-Sepúlveda, P. Aguirre, and V. Breña-Medina, “A case study of multiple wave solutions in a reaction-diffusion system using invariant manifolds and global bifurcations,” To appear in SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. https://arxiv.org/pdf/2008.05628v4.pdf
G. Chowel, M. Miller and C. Viboud, “Seasonal influenza in the United States, France, and Australia: Transmission and prospects for control,” Epidemiology and Infection, vol. 136, no. 6, pp. 852-864, June 2008. DOI:10.1017/S0950268807009144. DOI: https://doi.org/10.1017/S0950268807009144
H.W. Hethcote, “The Mathematics of Infectious Diseases,” SIAM Review, vol. 42, no. 4, pp. 599-653, 2000. DOI: https://doi.org/10.1137/S0036144500371907
J. Guckenheimer, and P. Holmes. Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics. Springer New York, NY, 2001.
J. Burgos-García, A. Bengochea, and L. Franco-Pérez., “The spatial Hill four-body problem I. An exploration of basic invariant sets,” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, vol. 108, 106264, 2022. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2022.106264
J. Burgos-García, J. P. Lessard, and J. D. Mireles James, “Spatial periodic orbits in the equilateral circular restricted four-body problem: computer-assisted proofs of existence,” Celest Mech Dyn Astr., vol.131, no. 2, 2019. DOI: https://doi.org/10.1007/s10569-018-9879-8
J. B. Van der Berg, and J. P. Lessard, “Rigorous Numerics in Dynamics,” in Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. American Mathematical Society, vol. 74, 2016.
L. Perko. Differential Equations and Dynamical Systems. Texts in Applied Mathematics. Springer New York, 2001. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0003-8
L. Wu, and F. Zhilan, “Homoclinic Bifurcation in an SIQR Model for Childhood Diseases,” Journal of Differential Equations, vol.168, pp. 150-167, 2000. DOI: https://doi.org/10.1006/jdeq.2000.3882
M. Erdem, S. Muntaser, and C. Castillo-Chavez, “Mathematical Analysis of an SIQR Influenza Model with Imperfect Quarantine,” Bulletin of Mathematical Biology, vol. 79, pp. 1612-1636, 2017. DOI: https://doi.org/10.1007/s11538-017-0301-6
M. Biggersta , S. Cauchemez, C. Reed, M. Gambhir, and L. Finelli, “Estimates of the reproduction number for seasonal, pandemic, and zoonotic influenza: a systematic review of the literature,” BMC Infect Dis, vol. 14, 480, 2014. DOI: https://doi.org/10.1186/1471-2334-14-480
M.P. Markakis, and P.S. Douris, “Hopf Bifurcation Analysis of a New SEIRS Epidemic model with Nonlinear Incidence Rate and Nonpermanent Immunity,” International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 2018, Article ID 1467235, 13 pages, 2018. DOI: https://doi.org/10.1155/2018/1467235
M.B. Trawicki, “Deterministic Seirs Epidemic Model for Modeling Vital Dynamics, Vaccinations, and Temporary Immunity,” Mathematics, vol. 5, no. 1, 2017. DOI: https://doi.org/10.3390/math5010007
O.N. Bjornstad, K. Shea, M. Krzywinski, and N. Altman, “The SEIRS model for infectious disease dynamics,” Nat methods, vol. 17, pp. 557-558, 2020. DOI: https://doi.org/10.1038/s41592-020-0856-2
P.S. Douris, and M.P. Markakis, “Global Connecting Orbits of a SEIRS Epidemic model with Nonlinear Incidence Rate and Nonpermanent Immunity,” Engineering Letters, vol. 27, no. 4, pp. 1-10, 2019.
R.A. Salas-Vega, “Aspectos analíticos y geométricos de modelos epidemiológicos con dinámica de población”. Tesis de licenciatura. Facultad de Ciencias FÍsico Matemáticas. UA de C. Saltillo, Coah. México, abril 2023. http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.2.10224.02564
Z. Xiaoguang, C. Shan, Z. Jin, and H. Zhu, “Complex dynamics of epidemic models on adaptive networks,” Journal of Differential Equations, vol. 266, no. 1, pp. 803-832, January 2019. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2018.07.054
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