Geometrı́a y Dinámica del oscilador armónico 2-dimensional
DOI:
https://doi.org/10.36788/sah.v4i1.101Resumen
En este artı́culo se estudia la geometrı́a y la dinámica del oscilador armónico 2-dimensional como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales en R 4 . Se describen explícitamente los conjuntos invariantes del oscilador los cuales en su gran mayoría resultan ser toros 2-dimensionales. Luego, se estudia la dinámica del sistema sobre los toros de Liouville y se exhibe la gran dependencia cualitativa que esta tiene de una relación aritmética entre sus frecuencias, pasando de tener órbitas periódicas en los toros a tener trayectorias densas sobre éstos. Si bien este hecho es bien conocido en la teorı́a de sistemas Hamiltonianos integrables, aquí presentamos los resultados haciendo solamente uso de conceptos básicos de cálculo y ecuaciones diferenciales.
Descargas
Citas
R. Abraham and J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, AMS Chelsea Publishing, 2nd Edition, (1978).
V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Vol. 60 of GTM, Springer- Verlag, 2nd edition, (1989). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2063-1
R. Cushman and L. Bates, Global Aspects of Classical Integrable Systems, Birkhäuser- Verlag, Berlin, (1997). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8891-2
F. Fass_o, Superintegrable Hamiltoninan Systems: Geometry and Perturbations, Acta Appl. Math., Vol 87, pp. 93-121 (2005) DOI: https://doi.org/10.1007/s10440-005-1139-8
H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Third ed., (2002). DOI: https://doi.org/10.1119/1.1484149
T. B. Greenslade, Adventures with Lissajous Figures, Morgan & Claypool Publishers, (2018). DOI: https://doi.org/10.1088/978-1-6432-7010-4
B. C. Hall, Quantum Theory for Mathematicians, Vol 267 of GTM, Springer Verlag, New York, (2013). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-7116-5
M. W. Hirsch, S. Smale and R. L. Devaney, Di_erential Equations, Dynamical Systems and an Introduction to Chaos, Vol. 60 of Pure and Applied Mathematics, Elsevier, 2nd edition, (2004).
J. Marsden and T. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer Verlag, New York, (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2682-6
K. R. Meyer, The Geometry of Harmonic Oscillators, The Amer. Math. Monthly,Vol. 97, no. 6, pp. 457-465 (1990). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.1990.11995629
M. Spivak, Cálculo en Variedades, Editorial Reverté, (1988).
Descargas
Publicado
Cómo citar
Número
Sección
Licencia
Los artículos publicados por Sahuarus. Revista Electrónica de Matemáticas se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivadas 4.0 Internacional, la cual permite la distribución y el uso del material publicado citando la fuente de la que proviene, prohibe la modificación y el uso con fines comerciales.
